Начальные и граничные условия. Неотъемлемым и важнейшим элементом постановки любой задачи механики сплошных сред является формулировка начальных и граничных условий. Их значение определяется тем, что та или иная система разрешающих уравнений описывает целый класс движений соответствующей деформируемой среды, и лишь задание отвечающих исследуемому процессу начальных и граничных условий позволяет выделить из этого класса представляющий интерес частный случай, соответствующий решаемой практической задаче.
Начальные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых характеристических функций в момент начала рассмотрения исследуемого процесса. Количество задаваемых начальных условий определяется количеством основных неизвестных функций, входящих в систему разрешающих уравнений, а также порядком входящей в эту систему высшей производной по времени. Например, адиабатическое движение идеальной жидкости или идеального газа описывается системой шести уравнений с шестью основными неизвестными -- тремя компонентами вектора скорости,давлением,плотностью и удельной внутренней энергией, при этом порядок производных этих физических величин по времени не превышает первый порядок. Соответственно этому в качестве начальных условий должны быть заданы начальные поля этих шести физических величин: при t =0 ,. В некоторых случаях (например, в динамической теории упругости) в качестве основных неизвестных в системе разрешающих уравнений используются не компоненты вектора скорости, а компоненты вектора перемещения, а уравнение движения содержит производные второго порядка компонент перемещения, что требует задания двух начальных условий для искомой функции: при t = 0
Более сложным и разнообразным образом при постановке задач механики сплошных сред задаются граничные условия. Граничные условия -- это условия, которыми задаются значения искомых функций (или их производных по координатам и времени) на поверхности S области, занимаемой деформируемой средой. Различают граничные условия нескольких типов: кинематические, динамические, смешанные и температурные.
Кинематические граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S тела (или ее части) задаются перемещения или скорости где -- координаты точек поверхности S, изменяющиеся в общем случае в зависимости от времени.
Динамические граничные условия (или граничные условия в напряжениях) задаются, когда на поверхности S действуют поверхностные силы р. Как следует из теории напряжений, в этом случае на любой элементарной площадке поверхности с единичным вектором нормали п вектор удельных поверхностных сил рп принудительно задает вектор полного напряжения?п = рn, действующий в сплошной среде в точке на данном участке поверхности, что приводит к взаимосвязи тензора напряжений (?) в этой точке с поверхностной силой и ориентацией вектора п соответствующего участка поверхности: (?) · п = рп или.
Смешанные граничные условия соответствуют случаю, когда на поверхности S задаются значения и кинематических, динамических величин или устанавливаются взаимосвязи между ними.
Температурные граничные условия подразделяются на несколько групп (родов). Граничные условия первого рода задают на поверхности S деформируемой среды определенные значения температуры Т. Граничные условия второго рода задают на границе вектор теплового потока q, что с учетом закона теплопроводности Фурье q = -- ? grad T, по существу, накладывает ограничения на характер температурного распределения в окрестности граничной точки. Граничные условия третьего рода устанавливают зависимость между вектором теплового потока q, направленным к данной среде со стороны окружающей среды, и температурным перепадом между этими средами и т.д.
Следует отметить, что постановка и решение большинства задач физики быстропротекающих процессов, как правило, осуществляются в адиабатическом приближении, поэтому температурные граничные условия используются достаточно редко, в основном в различных сочетаниях применяются кинематические, динамические и смешанные граничные условия. Рассмотрим возможные варианты задания граничных условий на частном примере.
На рис. 3 схематично представлен процесс взаимодействия при проникании деформируемого тела I в деформируемую преграду II. Тело I ограничено поверхностями S1 и S5, а тело II -- поверхностями S2, S3, S4, S5. По -верхность S5 является границей раздела взаимодействующих деформируемых тел. Будем полагать, что движение тела I до начала взаимодействия, а также в его процессе происходит в жидкости, создающей определенное гидростатическое давление
Рисунок 3
и задающей внешние по отношению к обоим телам поверхностные силы рп = -- рп= -- рni ri, действующие на любой из элементарных площадок поверхностей S1 тела I и S2 преграды II, граничащих с жидкостью. Будем также считать, что поверхность Sз преграды жестко закреплена, а поверхность S4 свободна от действия поверхностных сил (рп = 0).
Для приведенного примера на различных поверхностях, ограничивающих деформируемые среды I и II, должны задаваться граничные условия всех трех основных типов. Очевидно, что на жестко закрепленной поверхности Sз следует задать кинематические граничные условия?(S3) = ?(, t) = 0. Граничные условия на поверхностях S1 и S2 однотипны и относятся к динамическим условиям, накладывающим ограничения на компоненты тензора напряжений в граничных точках соответствующих тел: или Компоненты тензора напряжений на поверхности S4 преграды также не могут быть произвольными, а взаимосвязаны с ориентацией ее элементарных площадок как.
Граничные условия на границе раздела (поверхность S5) взаимодействующих деформируемых сред являются наиболее сложными и относятся к условиям смешанного типа, включающим, в свою очередь, кинематическую и динамическую части (см. рис. 3). Кинематическая часть смешанных граничных условий накладывает ограничения на скорости движения индивидуальных точек обеих сред, находящихся в контакте в каждой пространственной точке поверхности S5. Возможны два варианта задания этих ограничений, проиллюстрированные на рис. 4, а и б. По наиболее простому первому варианту предполагается, что скорости движения любых двух находящихся в контакте индивидуальных точек одинаковы (? = ?) -- это так называемое условие "прилипания", или условие "сварки" (см. рис. 4, а). Более сложным и в то же время более адекватным для рассматриваемого процесса является задание условия "непроницаемости", или условия "непротекания" (? · n= ? · n; см. рис. 4, б), которое соответствует экспериментально подтверждающемуся факту: взаимодействующие деформируемые среды не могут проникать
Рисунок 4
друг в друга или отставать друг от друга, а могут проскальзывать одна относительно другой со скоростью? - ?, направленной по касательной к границе раздела ((?I - ?II) · n = 0). Динамическая часть смешанных граничных условий на границе раздела двух сред формулируется на основе третьего закона Ньютона с использованием соотношений теории напряжений (рис. 4, в). Так, в каждой из двух находящихся в контакте индивидуальных частиц деформируемых сред I и II реализуется свое напряженное состояние, характеризуемое тензорами напряжений (?)I и (?) II.При этом в среде I на каждой элементарной площадке границы раздела с единичным вектором нормали nII, внешней по отношению к данной среде, действует вектор полного напряжения?nI = (?)·nI. В среде II на той же площадке, но с единичным вектором нормали nII , внешней по отношению к этой среде, действует вектор полного напряжения?nII =(?)II · пII. С учетом взаимности действия и противодействия?nI = - ? n II , а также очевидного условия nI = --nII = n устанавливается взаимосвязь между тензорами напряжений в обеих взаимодействующих средах на границе их раздела: (?)I · п = (?) II ·п или же (?ijI - ?ijII) nj = 0.Возможные варианты задания граничных условий не исчерпываются рассмотренным частным примером. Вариантов задания начальных и граничных условий столь же много, сколь много существует в природе и технике процессов взаимодействия деформируемых тел или сред. Они определяются особенностями решаемой практической задачи и задаются в соответствии с приведенными выше общими принципами.
Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).
Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равны нулю при любых :
| , . | (1.119) |
Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.
Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени . В начальный момент времени всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:
, 
,  ,
| (1.120) |
где и - заданные функции.
Условия (1.120) называются начальными условиями.
Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции и , смешанная задача имеет единственное решение.
Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.
Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:
I. 
, 
;
II. 
, 
;
III. 
, 
,
где , - известные функции, а , - известные постоянные.
Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.
Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) – однородные.
Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.
Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для при , удовлетворяющее начальным условиям:
, .
Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями - границами. Границы могут быть непроницаемыми для жидкостей или газов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.
Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.
Начальное условие заключается в задании искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид
Граничные (краевые) условия задаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.
Возможны следующие граничные условия.
Граничные условия первого рода . На границе задаются значения давления:
Так, как по закону Дарси скорость фильтрации связана с градиентом давления, то это граничное условие можно записать в следующем виде:
Рассмотрим граничные условия в случае притока к галерее. Галерея имеет две границы, одна при x = 0 , а вторая (контур питания) x = L . Поэтому необходимо поставит по одному граничному условию на каждой границе. На контуре питания ставится условие постоянство давления или условие непроницаемости границы
Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде:
Второе граничное условие можно записать в виде:
Скорость фильтрации связана с градиентом давления, поэтому второе граничное условие записывается в виде.
Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям.
При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные).
Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием
а начальная скорость
где - заданные функции.
Запись и означает, что функция взята при произвольном значении и при , т. е. аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например, и т. д.
Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.
Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны - в начале координат, а конец - в точке функция будет подчиняться условиям
С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки.
Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.
Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию - уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что ) Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).
Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.
Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами
Начальные условия
Для возможности отсчета изменений температуры в точках тела в ту или другую сторону в последующие моменты времени должно быть задано исходное начальное термическое состояние для его каждой точки. Другими словами, должна быть задана непрерывная или разрывная функция координат Т0 (х, у, z), полностью описывающая температурное состояние во всех точках тела в начальный момент времени t = 0, и искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением дифференциального уравнения (1.8), должна удовлетворять начальному условию
Т (х, у, z, 0i=o = Т0 (х, у, z). (1.11)
Граничные условия
Теплопроводящее тело может находиться в различных условиях внешнего термического воздействия через его поверхность. Поэтому из всех решений дифференциального уравнения (1.8) нужно выбрать то, которое удовлетворяет данным условиям на поверхности S, т. е. данным конкретным граничным условиям. Используются следующие формы математического задания граничных условий.
1. Температура в каждой точке поверхности тела может изменяться с течением времени по конкретному заданному закону, т. е. температура поверхности тела будет представлять непрерывную (или разрывную) функцию координат и времени Ts (х, у, z, і). При этом искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением уравнения (1.8), должна удовлетворять граничному условию
Т (х, у, z, 0 Is = Ts (х, у, z, і). (1.12)
В простейших случаях температура на поверхности тела 7 (х, у, z, t) может быть периодической функцией времени или она может быть постоянной.
2. Известен поток тепла через поверхность тела как непрерывная (или разрывная) функция координат точек поверхности и времени qs (х, у, z, I). Тогда функция Т (х, у, г, I) должна удовлетворять граничному условию:
X grad Т (х, у, z, 0U = Qs (*. У> г> 0- (1 -13)
3. Заданы температура окружающей среды Та и закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела, в качестве которого для простоты используется закон Ньютона. В соответствии с этим законом количество теплоты dQ, отдаваемое
за время dt элементом поверхности dS с температурой
Ts (х, у, z, t) в окружающую среду, определяется по формуле
dQ = k (Ts - Та) dS dt, (1.14)
где k - коэффициент теплоотдачи в кал/см2 - сек-°С. С другой стороны, в соответствии с формулой (1.6), это же количество тепла подводится к элементу поверхности изнутри и определяется равенством
dQ = - х (grad„ 7")s dS dt. (1.15)
Приравнивая (1.14) и (1.15), получим, что искомая функция Т (х, у, z, t) должна удовлетворять граничному условию
(gradnr)s = -±-(Ts-Та). (1.16)
Как отмечалось выше, при стыковании на монтаже двух секций конструкции условия для выполнения сварки являются наиболее тяжелыми. Выполнение сварки всего сечения одновременно- совершенно невозможно, а поэтому после наложения части швов …
Если на общие деформации сварных конструкций большое влияние оказывает последовательность наложения отдельных швов, то на местные деформации и деформации из плоскости свариваемых листов существенное влияние оказывает метод выполнения каждого шва. …
Как отмечалось выше, при сварке сложных составных сечений и конструкций характер возникающих деформаций зависит от порядка наложения швов. Поэтому одним из основных средств борьбы с деформациями при изготовлении сварных конструкций …