Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:
1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c
,
если а>0
то ветви параболы направленны вверх
,
а то ветви параболы направлены вниз
.
Свободный член c
эта точке пересекается параболы с осью OY;
2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;
3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;
Виды уравнений:
a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0
и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0.
Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0.
Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);
4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2
х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3
Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2
Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2
Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.
Если Вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет Вам потом огромную помощь во всей вашей работе
М.И. Калинин
Одной из главных функций школьной математики, для которой построена полная теория и доказаны все свойства, является квадратичная функция . Учащихся должны четко понимать и знать все эти свойства. При этом задач на квадратичную функцию существует великое множество – от очень простых, которые вытекают непосредственно из теории и формул, до самых сложных, решение которых требует анализа и глубокого понимания всех свойств функции.
При решении задач на квадратичную функцию большое практическое значение имеет наличие соответствия между алгебраическим описание задачи и ее геометрической интерпретацией – изображением на координатной плоскости эскиза графика функции. Именно благодаря этой особенности у вас всегда есть возможность проверить правильность и непротиворечивость своих теоретических рассуждений.
Рассмотрим несколько задач по теме «Квадратичная функция» и остановимся на подробном их решении.
Задача 1.
Найти сумму целых значений числа p, при которых вершина параболы y = 1/3x 2 – 2px + 12p расположена выше оси Ox.
Решение.
Ветви параболы направлены вверх (a = 1/3 > 0). Так как вершина параболы лежит выше оси Ox, то парабола не пересекает ось абсцисс (рис. 1). Значит, функция
y = 1/3x 2 – 2px + 12p не имеет нулей,
а уравнение
1/3x 2 – 2px + 12p = 0 не имеет корней.
Это возможно, если дискриминант последнего уравнения окажется отрицательным.
Вычислим его:
D/4 = p 2 – 1/3·12p = p 2 – 4p;
p 2 – 4p < 0;
p(p – 4) < 0;
p принадлежит интервалу (0; 4).
Сумма целых значений числа p из промежутка (0; 4): 1 + 2 + 3 = 6.
Ответ: 6.
Заметим, что для ответа на вопрос задачи можно было решить неравенство
y в > 0 или (4ac – b 2) / 4a > 0.
Задача 2.
Найти количество целых значений числа a, при которых абсцисса и ордината вершины параболы y = (x – 9a) 2 + a 2 + 7a + 6 отрицательны.
Решение.
Если квадратичная функция имеет вид
y = a(x – n) 2 + m, то точка с координатами (m; n) является вершиной параболы.
В нашем случае
х в = 9a; y в = a 2 + 7a + 6.
Так как и абсцисса, и ордината вершины параболы должны быть отрицательны, то составим систему неравенств:
{9a < 0,
{a 2 + 7a + 6 < 0;
Решим полученную систему:
{a < 0,
{(a+ 1)(a + 6) < 0;
Изобразим решение неравенств на координатных прямых и дадим окончательный ответ:
a принадлежит промежутку (-6; -1).
Целые значения числа a: -5; -4; -3; -2. Их количество: 4.
Ответ: 4.
Задача 3.
Найти наибольшее целое значение числа m, при котором квадратичная функция
y = -2x 2 + 8x + 2m принимает только отрицательные значения.
Решение.
Ветви параболы направлены вниз (a = -2 < 0). Данная функция будет принимать только отрицательные значения, если ее график не будет иметь общих точек с осью абсцисс, т.е. уравнение -2x 2 + 8x + 2m = 0 не будет иметь корней. Это возможно, если дискриминант последнего уравнения будет отрицательным.
2x 2 + 8x + 2m = 0.
Разделим коэффициенты уравнения на -2, получим:
x 2 – 4x – m = 0;
D/4 = 2 2 – 1 · 1 · (-m) = 4 + m;
Наибольшее целое значение числа m: -5.
Ответ: -5.
Для ответа на вопрос задачи можно было решить неравенство y в < 0 или
(4ac – b 2) / 4a < 0.
Задача 4.
Найти наименьшее значение квадратичной функции y = ax 2 – (a + 6)x + 9, если известно, что прямая x = 2 является осью симметрии ее графика.
Решение.
1) Так как прямая x = 2 является осью симметрии данного графика, то x в = 2. Воспользуемся формулой
x в = -b / 2a, тогда x в = (a + 6) / 2a. Но x в = 2.
Составим уравнение:
(a + 6) / 2a = 2;
Тогда функция принимает вид
y = 2x 2 – (2 + 6)x + 9;
y = 2x 2 – 8x + 9.
2) Ветви параболы
Наименьшее значение данной функции равно ординате вершины параболы (рис. 2) , которую легко найти, воспользовавшись формулой
y в = (4ac – b 2) / 4a.
y в = (4 · 2 · 9 – 8 2) /4 · 2 = (72 – 64) / 8 = 8/8 = 1.
Наименьшее значение рассматриваемой функции равно 1.
Ответ: 1.
Задача 5.
Найти наименьшее целое значение числа a, при котором множества значений функции y = x 2 – 2x + a и y = -x 2 + 4x – a не пересекаются.
Решение.
Найдем множество значений каждой функции.
I способ.
y 1 = x 2 – 2x + a.
Применим формулу
y в = (4ac – b 2) / 4a.
y в = (4 · 1 · a – 2 2) /4 · 1 = (4a – 4) / 4 = 4(a – 1) / 4 = a – 1.
Так как ветви параболы направлены вверх, то
E(y) = .
E(y 2) = (-∞; 4 – a].
Изобразим полученные множества на координатных прямых (рис. 3)
.
Полученные множества не будут пересекаться, если точка с координатой 4 – a будет располагаться левее точки с координатой a – 1, т.е.
4 – a < a – 1;
Наименьшее целое значение числа a: 3.
Ответ: 3.
Задачи на расположение корней квадратичной функции, задачи с параметрами и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на ЕГЭ. Поэтому при подготовке к экзаменам стоит обратить на них пристальное внимание.
Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.
- — [] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ … Научно-технический энциклопедический словарь
Квадратичная функция - Квадратичная функция — функция вида y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а> 0 ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …
- (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными … Экономический словарь
Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… … Википедия
Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция, имеющая в векторизованной форме вид, где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание … Википедия
Функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения … Википедия
- – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… … Википедия
целевая функция - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… … Справочник технического переводчика
Целевая функция - в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… … Экономико-математический словарь
Книги
- Комплект таблиц. Математика. Графики функций (10 таблиц) , . Учебный альбом из 10 листов. Линейная функция. Графическое и аналитическое задание функций. Квадратичная функция. Преобразование графика квадратичной функции. Функция y=sinx. Функция y=cosx.…
- Важнейшая функция школьной математики - Квадратичная в задачах и решениях , Петров Н.. Квадратичная функция является основной функцией школьного курса математики. Это неудивительно. С одной стороны - простота данной функции, а с другой - глубокий смысл. Многие задачи школьного…